DESTAQUES DO MÊS

sexta-feira, 25 de setembro de 2015

CONJUNTO DOS NÚMEROS NATURAIS



Conjunto dos Números Naturais

Quando você faz uma contagem em seqüência, começando ou não com o zero você está na verdade usando o conjunto dos números naturais, que é representado por N.

Temos também N*={1,2,3,4,5,6,...} veja que este conjunto não começa com o zero, o símbolo de asterisco que aparece ao lado do N significa que o conjunto não tem o zero. Se você pegar sua régua vai perceber que ela começa com o zero e vai até o trinta, se for uma régua tradicional a sua régua pode ser um exemplo do que chamamos de reta numérica com uma diferença a reta numérica é infinita.


Veja que na reta numérica acima que começa com o zero não tem uma ponta e não tem porque é onde ela começa já no outro lado você ver que tem uma ponta isto significa que depois do numero 7 tem mais números, ou seja, que esta reta numérica é infinita.


Antecessor e Sucessor

O antecessor de um número é aquele número que está antes dele, exemplo o antecessor de 9 é 8; o antecessor de 879 é 878 , para saber o antecessor de um numero basta subtrair uma unidade 9 - 1= 8 por isso 8 é antecessor de 9 e 879 - 1 = 878 por isso 878 é antecessor de 879.

O Sucessor de um número é aquele número que está depois dele, exemplo o sucessor de 15 é 16 e de 327 é 328, para saber qual é o sucessor de um número, basta somar uma unidade 15 + 1 = 16 por isso 16 é sucessor de 15 e 327 + 1 = 328 por isso 328 é sucessor de 327.

COMPARAÇÃO ENTE NÚMEROS NATURAIS



Escreva os elementos dos subconjuntos dos números naturais.

a) Escreva o subconjunto dos números naturais menores do que 5.

{ 0, 1, 2, 3, 4 }

b) Escreva o subconjunto dos números naturais menores ou igual a 6.

OBS:Como está querendo menor ou igual, escrevemos todos os menores que 6 e o próprio 6

{ 0 , 1, 2, 3, 4, 5, 6 }

c) Escreva o subconjunto dos números naturais maiores que 12.

OBS:Maiores que 12 é um conjunto infinito, então escreva uns 3 ou 4 elementos e coloco reticências.

{ 13, 14, 15, 16, ...}

d) Escreva o subconjunto dos números naturais maiores que 5 e menores que 9.

OBS:Maior que 5 e menor que 9, são os números entre 5 e 9.

{ 6, 7, 8 }

e) Escreva o subconjunto dos números naturais maiores que 8 e menores ou igual a 12.

OBS: maiores que 8 começa com o 9 menor ou igual a 12 significa que vai até o 12.

{ 9, 10, 11, 12 }

Esse mesmo tipo de questão pode está escrita na forma de linguagem matemática, veja:

f) Escreva o subconjunto dos números naturais tal que

OBS: Lê-se x pertence ao conjunto dos números naturais, tal que x é maior que 7, maior que 7 começa no 8 e vai até o infinito.

{ 8, 9, 10, 11, ... }

g) Escreva o subconjunto dos números naturais tal que

OBS: Lê-se x pertence ao conjunto dos números naturais, tal que x é menor que 6.

{ 0, 1, 2, 3, 4, 5 }

h) Escreva o subconjunto dos números naturais tal que

OBS: Lê-se x pertence ao conjunto dos números naturais, tal que x é menor que 4, o ASTERISCO no N significa que no conjunto não pode ter o ZERO.

{ 1, 2, 3 }

i) Escreva o subconjunto dos números naturais tal que

OBS: Lê-se x pertence ao conjunto dos números naturais, tal que x é maior que 3 e menor que 7, são os elementos entre 3 e 7.

{ 4, 5, 6 }

j) Escreva o subconjunto dos números naturais tal que

OBS: Lê-se x pertence ao conjunto dos números naturais, tal que x é maior que 2, e menor ou igual a 7, maior que 2 começa no 3 como é igual a 7 vai até 7.

{ 3, 4, 5, 6, 7 }

ADIÇÃO


É a junção de dois ou mais valores, chamados de PARCELAS e o resultado da operação chamamos de SOMA ou TOTAL.

Na escola de João estudam alunos, sendo 1 38 4 masculinos e 1 124 femininos. Quantos alunos estudam nessa escola?

É um típico problema de adição é só somar 1 384 + 1 124, veja:


PROPRIEDADES DA ADIÇÃO

1ª Fechamento


A soma de dois números naturais tem como resultado outro número natural.

Ex: 2 + 5 = 7

2ª Comutativa


A ordem das parcelas não alteram a soma ou resultado.

Ex: 2 + 3 = 3 + 2 tanto faz somar 2 + 3 como somar 3 + 2

3ª Elemento neutro


É a soma de um número natural com o zero.

Ex: 5 + 0 = 0 + 5 = 5

4ª Associativa


A soma de três números naturais pode ser realizada associando os dois primeiros números ou associando os dois últimos números.

Ex: 5 + 3 + 8 = 5 + 3 + 8 vamos associar o 5 + 3 e 3 + 8

( 5 + 3 ) + 8 = 5 + ( 3 + 8 )

SUBTRAÇÃO

É a diferença entre dois números naturais em que o primeiro é maior ou igual ao segundo.


Se o subtraendo é 267 e a diferença é 648, qual o valor do minuendo?

Problemas em que você tem o valor da diferença e deseja saber o valor do minuendo ou subtraendo, basta somar o valor da diferença com minuendo ou subtraendo.

648 + 267 = 915

ATENÇÃO: as propriedades estudadas na adição NÃO VALEM PARA SUBTRAÇÃO


MULTIPLICAÇÃO


É a forma de se apresentar uma adição com duas ou mais parcelas.

6 + 6 + 6 = 18 temos aqui a soma do 6 por ele mesmo 3 vezes, então podemos representar como 6 vezes 3, assim:

6 x 3 = 18 ou 3 x 6 = 18

Os termos da multiplicação são os fatores e o resultado é o produto.

PROPRIEDADE DA MULTIPLICAÇÃO


1ª Fechamento


O produto de dois números naturais tem como resultado outro número natural.

Ex: 2 x 5 = 10

2ª Comutativa


A ordem dos fatores não alteram o produto.

Ex: 2 x 3 = 3 x 2 tanto faz multiplicar 2 x 3 como multiplicar 3 x 2

3ª Elemento neutro


É a multiplicação de um número natural por um.

Ex: 5 x 1 = 1 x 5 = 5

4ª Associativa

O produto de três números naturais pode ser realizada associando os dois primeiros números ou associando os dois últimos números.

Ex: 5 x 3 x 8 = 5 x 3 x 8 vamos associar o 5 x 3 e 3 x 8

( 5 x 3 ) x 8 = 5 x ( 3 x 8 )

5ª distributiva em relação a adição

É a multiplicação de um número natural por uma soma em que esse número multiplica cada parcela da soma.

DIVISÃO


Dividir o 1° número pelo 2° número é encontrar um número que multiplicado pelo 2° seja igual ou menor que o primeiro.

Atenção: Não existe divisão por zero

Ex: 15 : 5 = ? vamos encontrar um número que multiplicado por 5 der 15

15 : 5 = 3

Termos da divisão


DIVIDENDO : DIVISOR = QUOCIENTE


Veja como realizamos a divisão de 5 546 por 24


Dessa divisão tiramos uma relação muito importante na resolução de alguns problemas

DIVIDENDO ( D ) = QUOCIENTE ( q ) X DIVISOR ( d ) + RESTO ( r )

D = q x d + r

D = 231 x 24 + 2 faz primeiro a multiplicação

D = 5 544 + 2 soma

D = 5 546

OBS: Veja que na relação D = q x d + r temos quatro termos, sabendo três deles é possível calcular o outro.


FONTE: Matemática e você tudo a ver

SOBRE NÓS

FRACINETE
Francinete Fontenele de Carvalho 

Docente da rede Estadual de Ensino SEDUC-PI, Graduada em 
Matemática, Especialista em Docência do Ensino Superior e Especializando em Ensino da Matemática no Ensino Médio e Especializando em Gestão Educacional em Rede. 







ANDREA
Andrea Gomes Machado 

Graduada em Matemática, e Especializando em Gestão Educacional em Rede. 



NÚMEROS DECIMAIS

NÚMEROS DECIMAIS

O número decimal tem sempre uma virgula que divide o número decimal em duas partes: Parte inteira (antes da virgula) e parte decimal (depois da virgula).

Ex: 3,5 parte inteira 3 e parte decimal 5

      15,6 parte inteira 15 e parte decimal 6

Leitura de números decimais

Para fazer a leitura de um numero decimal devemos escrever a leitura do numero que está antes da vírgula acrescentando a palavra inteiro(s) e escrevemos a leitura do numero depois da vírgula acrescentando a palavra décimos se for uma casa depois da vírgula ou acrescentar a palavra centésimos se depois da vírgula tiver duas casas ou ainda acrescentar a palavra milésimos se depois da vírgula tiver três casas.

2,3 Lê-se dois inteiros e três décimos

26,54 Lê-se vinte e seis inteiros e cinqüenta e quatro centésimos

5,271 Lê-se cinco inteiros e duzentos e setenta e um milésimos

E se a parte inteira for zero ai vamos fazer a leitura apenas da parte decimal.

0,58 Lê-se cinqüenta e oito centésimos

0,4 Lê-se quatro décimos

0,123 Lê-se cento e vinte e três milésimos

Comparação de números decimais

Comparar números decimais e saber qual é maior que o outro, para isso é necessário saber que o ZERO colocado a direita de um número decimal não altera o seu valor.

2,3 = 2,30 = 2,300 = 2,3000

Um número decimal será maior que o outro se sua parte inteira for maior.

Ex: 12, 5 > 10,3 5,36 < 4,32 5,36 > 2,36

Se a parte inteira for igual, será maior o número que tiver maior parte decimal, para isso você iguala o número de casas decimais completando com zeros a direita.

Ex: 2,3 e 2,32 vamos igualar número de casas decimais 2,30 < 2,32

2,1 e 2,010 vamos igualar o número de casas decimais 2,100 > 2,010

Adição de números decimais

Para somar números decimais, armamos uma conta normal de adição colocando parcela sobre parcela e com um cuidado especial deixando vírgula de baixo de vírgula e igualamos as casas decimais com zeros.Depois é só somar e manter a vírgula na mesma posição.

Ex: 2,3 + 32,24 + 0,345 vamos armar a conta colocando vírgula de baixo de vírgula.


Subtração de números decimais

Utilizamos na subtração o mesmo processo de resolução usada na adição, colocando vírgula sobre vírgula e efetuamos a subtração mantendo a vírgula na mesma posição, neste caso é obrigado igualar casas decimais colocando zero a direita.




Multiplicação de números decimais

A multiplicação de números decimais é feita normalmente como se faz uma conta de multiplicar normal, só devemos nos preocupar com a vírgula no resultado, pois ela vai ocupar uma posição de acordo com a soma de casas decimais dos fatores.

Ex: 2 , 45 x 2 , 3 

Armamos uma conta de multiplicar e efetuamos a multiplicação, veja que o 1° fator tem DUAS CASAS decimais e o 2° fator tem UMA CASA decimal somamos então 2 + 1 = 3 o resultado deverá ter TRÊS CASAS decimais, veja.


Multiplicação de números decimais por 10,100,1000,...

Multiplicar um número decimal por uma potência de base 10 ( 10, 100, 1000, ...) basta deslocar a vírgula para a direita:

uma casa se estiver multiplicando por 10,

duas casas se estiver multiplicando por 100,

Três casas se estiver multiplicando por 1000, e assim por diante.

Ex: 2 , 345 x 10 = 23 , 45 a vírgula foi deslocada uma casa para direita

0 , 032 x 100 = 3 , 2 a vírgula foi deslocada duas casas para direita

2,3456 x 1000 = 2345,6 a vírgula foi deslocada três casas para direita

OBS: se não tiver a quantidade de casas necessária para o deslocamento você completa com zeros e a vírgula no final não precisa aparecer.

Ex: 3 , 2 x 100 = 320, como só tinha uma casa a outra foi completada com um zero, a eu só coloquei para você perceber a posição dela ELA NÃO PRECISA SER COLOCADA NO FINAL.

0, 3 x 1000 = 300 precisamos de três casas e só temos uma, então completamos com duas.

Divisão de números decimais

Para dividir dois números decimais devemos primeiro igualar o número de casas decimais, completando com zeros depois é só dividir normalmente como se não tivesse vírgula, se no resultado tiver que aparecer vírgula ela aparecerá naturalmente através do processo de divisão.

Ex: 32,66 : 14,2 igualando o números de casas decimais vamos ter

3266 : 1420 fazemos então uma conta de dividir normal

Logo 32,66 : 14,2 = 2,3 

Ex: 2,4 : 1,25 igualando o números de casas decimais vamos ter

240 : 125 fazemos então uma conta de dividir normal

Logo 2,4 : 1,25 = 1 , 92

Divisão de números decimais por uma potência de base 10

Para dividir um número decimal por uma potência de base 10 ( 10, 100, 1000, ...) basta deslocar a vírgula para a esquerda:

uma casa se estiver dividindo por 10,

duas casas se estiver dividido por 100,

Três casas se estiver dividido por 1000, e assim por diante.

Ex: 234,5 : 10 = 23,45 a vírgula foi deslocada uma casa para esquerda

324,5 : 100 = 3,245 a vírgula foi deslocada duas casas para esquerda

234,56 : 1000 = 0,23456 a vírgula foi deslocada três casas para esquerda sendo que o número ( ,23456 ) não pode ser iniciado por vírgula é necessário a parte inteira do número como não tem completamos com zero.

OBS: se não tiver a quantidade de casas necessária para o deslocamento você completa com zeros coloca a vírgula e ainda coloca mais um zero para representar a parte inteira.

Ex: 2 , 3 : 10 = 0 , 23 a vírgula foi deslocada para a esquerda uma casa e colocado o zero na parte inteira.

3 , 6 : 100 = 0,036 a vírgula precisa voltar duas casas como só tem uma que é o 3 

completamos a que falta com zero e colocamos mais um zero na parte inteira.

12 , 34 : 10000 = 0 , 001234 a vírgula precisa voltar quatro casas como só tem duas que é o 12 completamos as casas que falta com zeros e colocamos mais um zero na parte inteira.

Potência de números decimais

É o mesmo processo de uma potenciação de números naturais inclusive com todas as propriedades. O expoente indica quantas vezes o número decimal será multiplicado por ele mesmo.

Ex: ( 1 , 2 ) 2 a base será multiplicada por ela mesma duas vezes

1,2 x 1,2 multiplica normalmente e coloca duas casas decimais no resultado

1,44

Ex: ( 0,2 )3 a base será multiplicada por ela mesma três vezes

0,2 x 0,2 x 0,2 faz primeiro 0,2 x 0,2 que é 0,04

0,04 x 0,2 agora multiplica o resultado pelo outro 0,2

0,008

Nas propriedades:

Multiplicação de mesma base

( 0,3 )5 x ( 0,3 )2 conserva a base 0,3 e soma os expoentes 5 + 2

( 0,3 ) 7

Divisão de mesma base

( 1,5 )7 : ( 1,5 )4 conserva a base 1,5 e subtrai os expoentes 7 – 4

( 1,5 ) 3

Potência de potência 

[( 5,3 )2]4 conserva a base 5,3 e multiplica os expoentes 2 x 4

( 5,3 )8

Produto ou quociente de potência

Ex: ( 2,3 x 3,4 )3 o expoente 3 é válido para os dois fatores e mantêm o sinal de produto

( 2,3 )3 x ( 3,4 )3

Ex: ( 0,2 : 0,5 )4 o expoente 4 é válido para os dois termos e mantêm o sinal de divisão

( 0,2 )4 : ( 0,5 )4

Frações decimais

Fração decimal é a fração que tem no seu denominador uma potência de base 10, ou seja, 10,100,1000,....veja:

Essas frações decimais podem também serem escritas de forma de números decimais:


De modo prático, escrevemos o número que está no numerador com a quantidade de casa decimal contadas da direita para a esquerda de acordo com a quantidade de zeros que tiver no denominador.

Outro EX:

Transformação de número decimal em fração centesimal

Para transformar um número decimal em fração decimal é só escrever o numero sem a vírgula no numerador, contar as casas decimais e escrever o 1 acompanhado de tantos zeros quantos forem as casas decimais.

Representação de números decimais através de frações não centesimais

Devemos dividir o numerador pelo denominador da fração, podendo obter um número decimal EXATO ou NÃO EXATO, veja alguns exemplos:


Logo 3 : 2 = 1,5 divisão exata



Logo 6 : 7 = 0,8571 ... Não é uma divisão exata


Logo 7 : 9 = 0 ,777 . . . Não é uma divisão exata

Dízima periódica

Quando efetuamos uma divisão não exata, podemos ter ou não uma dízima periódica, veja:

Na divisão de 6 por 7 o resultado foi 0,8571 . . .

Na divisão de 7 por 9 o resultado foi 0,777 . . . veja que nesse 2° resultado aparecer o 7 repetido em sequencia, então isso é o que chamamos de dízima periódica e o número que se repete é chamado de período.

As dízimas periódicas podem ser de dois tipos: SIMPLES e COMPOSTA.

DÍZIMA SIMPLES

O número que se repete, ou seja, o período aparece logo depois da vírgula.

Ex: 2,333... dízima simples e período 3

1,252525... dízima simples e período 25

5,375375375 ... dízima simples e período 375

DÍZIMA COMPOSTA

Existe um número entre a vírgula e o período. 

Ex: 2, 3555... dízima composta,existe o 3 entre o período 5 e a vírgula.

3, 14252525... dízima composta,existe o 14 entre o período 25 e a vírgula.


FONTE: Matemática e você tudo a ver

O TESTE MALUCO

Matemática incrível - o teste maluco


A Matemática tem coisas incríveis. Aqui podes conhecer um teste aparentemente simples, mas que se vai revelar bem interessante. Vamos jogar, pode ser?



Pensa num número de 1 a 9.

De seguida, multiplica esse número por 9.

Soma os algarismos do resultado anterior.

A essa soma, adiciona depois 7.

Por fim, divide por 4.

Considerando que cada letra do alfabeto corresponde a um número, na seguinte sequência (A=1, B=2, C=3, etc.), encontra a letra correspondente ao número que encontraste.

De seguida, escolhe o país europeu iniciado por essa letra. Para te ajudar, verifica na lista seguinte:

Albânia                                                                             Alemanha 
Andorra                                                                            Áustria
Bélgica                                                                             Bósnia e Herzegóvina 
Bulgária                                                                           Croácia 
Dinamarca                                                                       Eslováquia 
Eslovénia                                                                         Espanha 
Estónia                                                                             Federação Russa 
Finlândia                                                                          França 
Grécia                                                                              Holanda 
Hungria                                                                            Itália 
Letónia                                                                             Liechtenstein
Lituânia                                                                            Luxemburgo
Macedónia                                                                       Moldávia 
Mónaco                                                                            Montenegro 
Noruega                                                                           Polónia
Portugal                                                                           Roménia 
San Marino                                                                      Sérvia 
Suécia                                                                             Suíça 
Turquia                                                                            Ucrânia 
Vaticano                                                                          Chipre 
Irlanda                                                                             Islândia
Malta                                                                               Reino Unido
Escócia                                                                           Irlanda do Norte 
País de Gales 

Depois de escolheres um nome iniciado pela letra obtida, deves verificar qual a quinta letra desse nome. Por fim, deves escolher um animal iniciado com essa letra da seguinte lista de animais:

Leão
Águia
Cão
Macaco
Chimpanzé
Gato
Elefante
Girafa

Agora que anotou o nome do país e do animal que resultaram do número que escolheu, verifica em baixo o resultado deste teste.



















Quem diria que na Dinamarca existem macacos! :-)

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